בגרות קיץ 2026 מועד ב' · שאלה 2 – הסתברות: הוצאה עם החזרה ועץ הסתברות3 יחידות 371 · שיעור 11
בגרות קיץ 2026 מועד ב' · שאלה 2
בגרות קיץ 2026 מועד ב' · שאלה 2 – הסתברות: הוצאה עם החזרה ועץ הסתברות
פרק 2 – הסתברות
1נוסח השאלה
2הכנה – ההסתברות בכל הוצאה, ועץ ההסתברות
3סעיף א – שני עפרונות
4סעיף ב – בדיוק עט אחד
5סעיף ג – לפחות עט אחד
6סעיף ד – יום שני
📄 נוסח השאלה
בקלמר של סיגל יש שני סוגים של כלי כתיבה: 6 עפרונות ו־18 עטים.
ביום ראשון סיגל הוציאה באקראי כלי כתיבה אחד מן הקלמר, החזירה אותו לקלמר ושוב הוציאה באקראי כלי כתיבה (הוצאה עם החזרה).
א. מהי ההסתברות שסיגל הוציאה שני עפרונות?
ב. מהי ההסתברות שבדיוק אחד מכלי הכתיבה שהוציאה סיגל הוא עט?
📄 נוסח השאלה · המשך
ג. מהי ההסתברות שלפחות אחד מכלי הכתיבה שהוציאה סיגל הוא עט?
ביום שני נתנה סיגל לחברתה עיפרון אחד ו־3 עטים מן הקלמר. לאחר מכן הוציאה סיגל באקראי כלי כתיבה אחד מן הקלמר, החזירה אותו לקלמר ושוב הוציאה באקראי כלי כתיבה (הוצאה עם החזרה).
📄 נוסח השאלה · המשך
ד. האם ההסתברות שביום שני הוציאה סיגל שני עפרונות, גדולה מן ההסתברות שמצאתם בסעיף א, קטנה ממנה או שווה לה? נמקו את תשובתכם.
הכנה – ההסתברות בכל הוצאה, ועץ ההסתברות
בקלמר יש 6 + 18 = 24 כלי כתיבה.
ההסתברות להוציא עיפרון:
📐 הסתברות
624 = 14
ההסתברות להוציא עט:
1824 = 34
ההוצאה היא עם החזרה, ולכן בהוצאה השנייה ההסתברויות לא משתנות. נצייר עץ הסתברות (בקצה כל ענף – ההסתברות שלו):
📐 הסתברות
מספר האפשרויות המתאימותמספר כל האפשרויות
סעיף א – שני עפרונות
הענף "עיפרון ואחריו עיפרון":
📐 כלל הכפל בעץ
הסתברות הענף = הסתברות לעיפרון · הסתברות לעיפרון
נציב הסתברות לעיפרון = 14:
14 · 14 = 116
14 · 14 = 0.0625
✅ פתרון סופי: 116 (0.0625)
📐 כלל הכפל בעץ
ההסתברות של ענף = מכפלת ההסתברויות לאורכו
סעיף ב – בדיוק עט אחד
יש שני ענפים מתאימים: "עיפרון ואחריו עט" ו"עט ואחריו עיפרון".
ענף 1 – עיפרון, עט:
📐 כלל הכפל בעץ
הסתברות הענף = הסתברות לעיפרון · הסתברות לעט
נציב הסתברות לעיפרון = 14 , הסתברות לעט = 34:
14 · 34 = 316
ענף 2 – עט, עיפרון:
📐 כלל הכפל בעץ
ההסתברות של ענף = מכפלת ההסתברויות לאורכו
סעיף ב – בדיוק עט אחד · המשך
ענף 2 – עט, עיפרון:
הסתברות הענף = הסתברות לעט · הסתברות לעיפרון
נציב הסתברות לעט = 34 , הסתברות לעיפרון = 14:
34 · 14 = 316
נחבר את שני הענפים:
📐 כלל החיבור בעץ
ההסתברות = ענף 1 + ענף 2
📐 כלל החיבור בעץ
כמה ענפים מתאימים ← מחברים את ההסתברויות שלהם
סעיף ב – בדיוק עט אחד · המשך
ההסתברות = ענף 1 + ענף 2
נציב ענף 1 = 316 , ענף 2 = 316:
316 + 316 = 616 = 38
316 + 316 = 0.375
✅ פתרון סופי: 38 (0.375)
סעיף ג – לפחות עט אחד
"לפחות עט אחד" – המשלים שלו הוא "אף עט", כלומר שני עפרונות. את ההסתברות לשני עפרונות מצאנו בסעיף א: 116.
הסתברות ללפחות עט אחד = 1 − הסתברות לשני עפרונות
נציב הסתברות לשני עפרונות = 116:
1 − 116 = 1616 − 116
📐 המאורע המשלים
1 − 116 = 1516 = 0.9375
(אפשר גם לחבר את שלושת הענפים: 316 + 316 + 916 = 1516.)
📐 המאורע המשלים
הסתברות של "לפחות אחד" שווה ל־1 פחות הסתברות של "אף אחד"
סעיף ג – לפחות עט אחד · המשך
(אפשר גם לחבר את שלושת הענפים: 316 + 316 + 916 = 1516.)
✅ פתרון סופי: 1516 (0.9375)
סעיף ד – יום שני
סיגל נתנה עיפרון אחד ו־3 עטים. נשארו בקלמר:
6 − 1 = 5
עפרונות: 5.
18 − 3 = 15
עטים: 15. סך הכול: 5 + 15 = 20 כלי כתיבה.
520 = 14
📐 הסתברות
📐 הסתברות
מספר האפשרויות המתאימותמספר כל האפשרויות
סעיף ד – יום שני · המשך
520 = 14
📐 הסתברות
ההסתברות להוציא עיפרון ביום שני היא שוב 14 – בדיוק כמו ביום ראשון.
ההוצאה עם החזרה, ולכן ההסתברות לשני עפרונות:
📐 כלל הכפל בעץ
הסתברות הענף = הסתברות לעיפרון · הסתברות לעיפרון
נציב הסתברות לעיפרון = 14:
14 · 14 = 116
📐 הסתברות
מספר האפשרויות המתאימותמספר כל האפשרויות
📐 כלל הכפל בעץ
ההסתברות של ענף = מכפלת ההסתברויות לאורכו
סעיף ד – יום שני · המשך
14 · 14 = 116
יצא אותו מספר כמו בסעיף א.
✅ פתרון סופי: שווה – ביום שני ההסתברות לשני עפרונות היא גם 116, כי היחס בין העפרונות לכל כלי הכתיבה נשאר רבע (520 = 624)
📌 סיכום התשובות
סעיף א
116
סעיף ב
38
סעיף ג
1516
סעיף ד
שווה (116)
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא